%5E2-(2xy)%5E2%3D(x%2By)%5E2(x-y)%5E2.jpeg "(x^2+y^2)^2-(2xy)^2=(x+y)^2(x-y)^2")
Identitas Aljabar: (x^2+y^2)^2-(2xy)^2=(x+y)^2(x-y)^2
Dalam aljabar, kita dapat menemukan beberapa identitas yang berguna dalam menyelesaikan berbagai persoalan matematika. Salah satu identitas aljabar yang penting dan berguna adalah:
(x^2+y^2)^2-(2xy)^2=(x+y)^2(x-y)^2
Pembuktian Identitas
Untuk membuktikan identitas di atas, kita dapat menggunakan definisi operasi aljabar dan beberapa sifat operasi yang terkait.
Langkah 1: Mengembangkan (x^2+y^2)^2
(x^2+y^2)^2 = (x^2+y^2)(x^2+y^2) = x^4 + 2x^2y^2 + y^4
Langkah 2: Mengembangkan (2xy)^2
(2xy)^2 = (2xy)(2xy) = 4x^2y^2
Langkah 3: Mengembangkan (x+y)^2(x-y)^2
(x+y)^2(x-y)^2 = ((x+y)(x+y))(x-y)(x-y) = (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2) = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 + 2x^2y^2 - 4x^2y^2 + 2y^2x^2 - 2y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4
Kesimpulan
Dari langkah 1 dan langkah 2, kita dapatkan:
(x^2+y^2)^2 - (2xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4
Dan dari langkah 3, kita dapatkan:
(x+y)^2(x-y)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4
Dengan demikian, kita dapatkan:
(x^2+y^2)^2-(2xy)^2=(x+y)^2(x-y)^2
Identitas ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai persoalan aljabar dan geometri.
